2.1 Série harmónica

Uma nota musical apenas, do ponto de vista científico e artístico, encerra nela própria tantos assuntos diferentes que, fazendo apenas uma análise das suas características intrínsecas, daria material suficiente para escrever vários livros. Com o objetivo de tornar o leitor um músico mais versado, apresenta-se, do ponto de vista científico, qual a natureza de uma nota musical, nomeadamente o seu conteúdo harmónico.

Embora o tema dos harmónicos, do ponto de vista físico, musical e sensorial, seja complexo e simultaneamente entusiasmante, é objetivo deste capítulo proporcionar uma visão geral do mesmo, sem ser demasiado teórico, mas claro o suficiente para que o leitor possa ter uma visão mais alargada sobre o tema.

Como visto anteriormente, o timbre, do ponto de vista musical, é o atributo que nos permite distinguir as características, ou as assinaturas acústicas, dos vários instrumentos. É o que nos permite distinguir a mesma nota tocada por uma flauta ou por um saxofone. Do ponto de vista físico, o timbre é um sinal acústico complexo, formado pela sobreposição simultânea de várias ondas sonoras mais simples, com diferentes frequências e amplitudes, que no seu conjunto conferem uma assinatura única e característica de um determinado instrumento ou nota musical. Esta assinatura acústica é também afetada pelo próprio músico, dependendo do ataque, da intensidade, ou do modo com que aborda fisicamente o instrumento. Diferentes músicos, com diferentes técnicas e diferentes sensibilidades, irão obter do mesmo instrumento diferentes sonoridades.

Como o sinal acústico de uma nota musical é um sinal complexo, quando um pianista toca a nota [A] na 4.ª oitava (A4), o sinal acústico que ouve não contém apenas a frequência fundamental do A4 (f0 = 440 Hz). Se assim fosse, o som soaria essencialmente a um apito. Existe um conjunto mais vasto de outras frequências com diferentes intensidades que fazem com que a nota A4 tocada num piano seja reconhecida, pelos seres humanos, como um A4 tocado efetivamente num piano, e não noutro instrumento.

Do ponto de vista prático, talvez a ferramenta científica mais adequada para se analisar a assinatura acústica de uma nota tocada num instrumento musical seja a transformada discreta de Fourier, ou «DFT — Discrete Fourier Transform». O objetivo desta transformação é passar a informação que existe no domínio do tempo para informação no domínio da frequência, o que permite analisar a componente harmónica existente numa nota musical. Em inglês este conteúdo harmónico é denominado de «Harmonic Series» ou «Overtone Series».

Figura 2.1.1. Decaimento e resposta em frequência da nota A4 num piano. Em cima, a amplitude de cada harmónico ao longo do tempo; em baixo, o espetro completo. Cada pico está identificado pela nota que lhe corresponde e pela sua ordem na série.AAC · MP3

O gráfico de cima segue cada harmónico separadamente: o eixo horizontal é o tempo decorrido, o vertical a amplitude em dB relativamente ao harmónico mais forte, e cada curva corresponde a um dos harmónicos identificados no gráfico de baixo.

Verifica-se que os harmónicos mais graves perduram mais no tempo e são mais intensos, e que à medida que se sobe na série estes perduram cada vez menos tempo e são cada vez menos intensos, até se extinguirem por completo. Ao fim de um segundo já quase só resta a fundamental e os dois harmónicos que se lhe seguem. É esta a razão pela qual uma nota, ao decair, vai perdendo brilho antes de perder volume: não é o volume que desaparece primeiro, são os harmónicos agudos.

Para se estudar melhor o conteúdo da série harmónica, retira-se a variável tempo decorrido e, no gráfico de baixo, apresenta-se no eixo horizontal o conjunto de frequências analisadas e no eixo vertical a amplitude de cada uma delas, em dB relativamente ao harmónico mais forte.

É possível ver, claramente, a existência de picos em determinadas frequências. Fazendo corresponder a cada uma dessas frequências a nota musical que lhe está mais próxima, verifica-se que o A4 a 440 Hz é a frequência mais forte (f0, a frequência fundamental), mas que existem outras notas, de intensidade inferior, mas relevantes, presentes nesta nota:

Ordem	Nota	Frequência	Amplitude	Intervalo relativamente a A4
1×	A4	441 Hz	0 dB	uníssono (fundamental)
2×	A5	883 Hz	−9 dB	8.ª perfeita
3×	E6	1327 Hz	−9 dB	5.ª perfeita
4×	A6	1774 Hz	−28 dB	8.ª perfeita
5×	C#7	2225 Hz	−26 dB	3.ª maior
6×	E7	2681 Hz	−29 dB	5.ª perfeita
7×	G7	3142 Hz	−34 dB	7.ª menor
8×	A7	3611 Hz	−36 dB	8.ª perfeita

As notas que se encontram dentro do A4 são, portanto, [A4, A5, E6, A6, C#7, E7, G7], e formam com o A4 intervalos maioritariamente consoantes. Repare-se que empilhando a fundamental com o 3.º, 5.º e 7.º harmónicos se obtêm as notas [A, C#, E, G]: um acorde de sétima da dominante. A harmonia que estudaremos no capítulo seguinte já se encontra, por inteiro, dentro de uma única nota de piano.

Sublinha-se o facto de que em todos os gráficos a amplitude é apresentada em dB (decibel). Esta é uma escala logarítmica: um decréscimo de 10 dB corresponde a uma potência dez vezes menor. Considerando que o ouvido humano ouvisse as amplitudes de quaisquer frequências do mesmo modo — o que também não é inteiramente correto, pois o ouvido humano é mais sensível a certas frequências — a diferença entre a amplitude do harmónico E6 (−9 dB) e a do G7 (−34 dB) é de 25 dB, ou seja, o G7 tem uma potência aproximadamente trezentas vezes inferior à do E6.

Repare-se ainda que as frequências dos harmónicos não são múltiplos exatos da fundamental: o 2.º harmónico está a 2,00 vezes a fundamental, mas o 5.º está a 5,05 e o 8.º a 8,19. Esta é a inarmonicidade da corda, uma consequência da sua rigidez física, e é uma das razões pelas quais um piano é afinado com as oitavas ligeiramente esticadas em vez de matematicamente exatas.